moris_levran (moris_levran) wrote,
moris_levran
moris_levran

Ритуал гномов.


Задача математической олимпиады ФРГ. "семь гномов".

Семь гномов сидят за столом. Перед каждым стоит бокал, наполненный молоком. Всего молока 3 литра. Выполняя обряд, один из гномов разливает молоко из своего бокала поровну всем семи гномам. Его сосед справа повторяет то же самое с содержимым своего бокала. Следующий справа, в свою очередь поступает так же, а за ним и все остальные. После того, как своё молоко разделит седьмой гном, в каждом бокале останется столько же молока, сколько раньше. Сколько молока было в каждом бокале?
Можно решить алгебраически, можно с помощью программы.


Решение.
A, B, C, D, E, F, H – количество молока в каждой рюмке первоначально.
X, Y, Z, Q, U, V, W- соответственно доля молока, перелитая каждым гномом в каждый последующий ход.
Составляем уравнения…
8) A / 7=X
9) (B+X) / 7=Y
10) (C+X+Y) / 7=Z
11) (D+X+Y+Z) / 7=Q
12) (E+X+Y+Z+Q) / 7=U
13) (F+X+Y+Z+Q+U) / 7=V
14) (H+X+Y+Z+Q+U+V) / 7=W

1) X+Y+Z+Q+U+V+W=A
2) Y+Z+Q+U+V+W=B
3) Z+Q+U+V+W=C
4) Q+U+V+W=D
5) U+V+W=E
6) V+W=F
7) W=H

15) A+B+C+D+E+F+H=3
Решаем…
A=A
(1 уравнение, 2 и 8) X+B=A A/7 + B= A B=A- A/7= 6A/7 B=6A/7
(1,14,7) (W+(A-W))/7=W A/7=W=H H=A/7
(1,13,6) т.к. V+W=F (X+Y+Z+Q+U+V+W)/7=V=F-H A/7=F-H H=F-H F=2H=2A/7 F=2A/7
(1,12,15) т.к. U+V+W=E то (X+Y+Z+Q+U+V+W)/7=U=E-(V+W)=E-F A/7=E-F=E-2A/7 E=3A/7
(1,11,4) т.к. Q+U+V+W=D то (X+Y+Z+Q+U+V+W)/7=Q=D-(U+V+W)=D-E A/7=D-E=D-3A/7 D=4A/7
(1,10,3,4) т.к Z+Q+U+V+W=C то (X+Y+Z+Q+U+V+W)/7=Z=C-(Q+U+V+W)=C-D=C-4A/7=A/7 C=5A/7
т.к Y+Z+Q+U+V+W=B то (X+Y+Z+Q+U+V+W)/7=Y=B-(Q+U+V+W)=B-C=A/7 B=A/7+C=6A/7

A+6A/7+5A/7+4A/7+3A/7+2A/7+1A/7=3
28A/7=3
A=21/28
B=21/28*6/7=18/28
C=21/28*5/7=15/28
D=21/28*4/7=12/28
E=21/28*3/7=9/28
F=21/28*2/7=6/28
H=21/28*1/7=3/28

Эмпирическая формула 3(8-N)/28 где N=1…7


Графическое решение. Представляет собой "бегущую волну".

*
* *
* * *
* * * *
* * * * *
* * * * * *
* * * * * * * t=0 начальный момент
A B C D E F H
В следующий момент "волна" сдвигается вправо.

0 *
0 * *
0 * * *
0 * * * *
0 * * * * *
0 * * * * * *
* * * * * * * t=1
A B C D E F H

……………………………………………………………………………………………………


Программа "семь гномов".
Dimension A,B,C,D,E,F,H,N,R,S.
1. N=0
2. B=1
5. R=1
10. A=1
15. B=1
20. C=1
25. D=1
30. E=1
35. F=1
40. H=1
45. A+B+C+D+E+F+H=M
50. IF M=3000*R/S GO TO 100
55. H=H+1
56. IF H=2999 GO TO 60
57. GO TO 45
60. F=F+1
61. IF F=2999 GO TO 65
62. GO TO 40
65. E=E+1
66. IF E=2999 GO TO 70
67. GO TO 35
70. D=D+1
71. IF D=2999 GO TO 75
72. GO TO 30
75. C=C+1
76. IF C=2999 GO TO 80
77. GO TO 25
80. B=B+1
81. IF B=2999 GO TO 85
82. GO TO 20
85. A=A+1
86. IF A=2999 GO TO 90
87. GO TO 15
90. R=R+1
91. IF R=999 GO TO 95
92. GO TO 10
95. S=S+1
96. GO TO 5
100. N=1
110. B0=B
120. C0=C
130. D0=D
140. E0=E
141. F0=F
142. H0=H
150. IF N=1 GO TO 220
160. IF N=2 GO TO 230
170. IF N=3 GO TO 240
180. IF N=4 GO TO 250
190. IF N=5 GO TO 260
200. IF N=6 GO TO 270
210. HN= HN-1/7
211. K= HN
212. FN=FN-1+K
213. GO TO 273
220. AN= A/N
221. K=AN
222. GO TO 500
230. BN=BN-1/7
231. K=BN
233. AN=AN-1+K
234. GO TO 500
240. CN=CN-1/7
241. K=CN
243. BN=BN-1+K
244. GO TO 233
250. DN=DN-1/7
251. K=DN
253. CN=CN-1+K
254. GO TO 243
260. EN=EN-1/7
261. K=EN
263. DN=DN-1+K
264. GO TO 253
270. FN=FN-1/7
271. K=FN
273. EN=EN-1+K
274. GO TO 263
500. IF N=7 GO TO 700
510. HN=HN-1+K
520. IF N=6 GO TO 620
530. FN=FN-1+K
540. IF N=5 GO TO 620
550. EN=EN-1+K
560. IF N=4 GO TO 620
570. DN=DN-1+K
580. IF N=3 GO TO 620
590. CN=CN-1+K
600. IF N=2 GO TO 620
610. BN=BN-1+K
620. N=N+1
621. GO TO 150
700. IF A=A7 GO TO 710
701. GO TO 770
710. IF B=B7 GO TO 720
711. GO TO 770
720. IF C=C7 GO TO 730
721. GO TO 770
730. IF D=D7 GO TO 740
731. GO TO 770
740. IF E=E7 GO TO 750
741. GO TO 770
750. IF F=F7 GO TO 760
751. GO TO 770
760. IF H=H7 GO TO 780
770. H=H+1
771. GO TO 45
780. PRINT A*S/R; B*S/R; C*S/R; D*S/R; F*S/R; H*S/R.
782. FORMAT
790. STOP
800. END


Tags: Задачи, Математика
Subscribe
promo moris_levran december 22, 2014 02:45 7
Buy for 10 tokens
Византийская принцесса Анна – Великая княгиня Киевской Руси. В. Васнецов. "Крещение князя Владимира". В 1988 году в Советском Союзе отмечалась знаменательная дата – 1000-летие Крещения Руси. Минуло 26 лет, и сейчас можно рассмотреть подробнее эти события, поскольку к религии советская власть…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments